NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5.2 arithmetic progression in hindi

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एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 5: समांतर श्रेढियाँ प्रश्नावली 5.2 समाधान हिंदी में: क्या आप कक्षा 10 के गणित के एनसीईआरटी समाधान हिंदी में खोज रहे हैं, यदि हाँ तो आप सही जगह पर आए हैं? हमारे विशेषज्ञ ने सभी विषयों के लिए एनसीईआरटी कक्षा 10 के समाधान बहुत ही वर्णनात्मक तरीके से बनाए हैं ताकि कोई भी छात्र इसे आसानी से समझ सके। हिंदी में यह समाधान सभी छात्रों के लिए बहुत मददगार होने वाला है। हमने सभी विषयों के एनसीईआरटी कक्षा 10 के नोट्स भी बहुत ही सरल तरीकों से हिंदी में बनाए हैं।

अध्याय 5: समांतर श्रेढियाँ प्रश्नावली 5.2

1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहा AP का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद an है:

a d n an
(i) 7 3 8 …..
(ii) – 18 ….. 10 0
(iii) ….. – 3 18 – 5
(iv) – 18.9 2.5 ….. 3.6
(v) 3.5 0 105 …..

हल:

a d n an
(i) 7 3 8 28
(ii) – 18 2 10 0
(iii) 46 – 3 18 – 5
(iv) – 18.9 2.5 10 3.6
(v) 3.5 0 105 3.5

(i) दिया गया है, a = 7, d = 3, n = 8

अत:, an = ?

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

⇒ a8 = 7 + (8 – 1)3

⇒ a8 = 7 + 7×3 = 28 (उत्तर)

(ii) दिया गया है, a = –18, n = 10, an = 0

अत:, d =?

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

⇒ 0 = −18 + (10−1)×d

⇒ 0 = −18 + 9d

⇒ 9d = 18

d\;=\frac {18}9

⇒ d = 2 (उत्तर)

(iii) दिया गया है, d = –3, n = 18, an = –5

अत:, a =?

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

⇒ –5 = a + (18 – 1)×(–3)

⇒ –5 = a + 17×(–3)

⇒ –5 = a − 51

⇒ a = –5 + 51 = 46 (उत्तर)

(iv) दिया गया है, a = −18.9, d = 2.5, an = 3.6

अत:, n =?

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

⇒ 3.6 = –18.9 + (n – 1)×2.5

⇒ 3.6 = –18.9 + 2.5n – 2.5

⇒ 3.6 = –21.4 + 2.5n

⇒ 2.5n = 3.6 + 21.4

⇒ 2.5n = 25

n\;=\frac {25}{2.5}

⇒ n = 10 (उत्तर)

(v) दिया गया है, a = 3.5, d = 0, n = 105

अत:, an = ?

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

an = 3.5 + (105 − 1) × 0

an = 3.5 + 104×0

an = 3.5 (उत्तर)

2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) A.P: 10, 7, 4, …, का 30वाँ पद है:

(A) 97 (B) 77 (C) – 77 (D) – 87

हल:

दिया गया है, 10, 7, 4, …

प्रथम पद, a1 = 10

सार्व अंतर, d = a2 − a1 = 7 − 10 = − 3

30वाँ पद = ?

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

⇒ a30 = 10 + (30 − 1) × (−3)

⇒ a30 = 10 + 29×(−3) = 10 − 87

⇒ a30 = −77

अत:, विकल्प (C) −77 सही उत्तर है। (उत्तर)

(ii) A.P. – 3, -\;\frac 12, ,2 …. का 11वाँ पद है:

(A) 28 (B) 22 (C) – 38 (D) -\;48\frac 12

हल:

दिया गया है, – 3, -\;\frac 12 ,2 ….

प्रथम पद, a1 = −3

सार्व अंतर, d = a2 – a1 = -\;\frac 12 – (–3) =-\;\frac 12 + 3 = \frac {-\;1\;+6}{2}

⇒ d = \frac 52

a11 =?

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

⇒ a11 = −3 + (11 − 1) × \frac 52

⇒ a11 = −3 + 10 × \frac 52

⇒ a11 = −3 + 5×5 = −3 + 25

⇒ a11 = 22

अत:, विकल्प (B) 22 सही उत्तर है। (उत्तर)

3. निम्नलिखित समांतर श्रेणियों मे, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए:

Class 10 Maths Chapter 5.2 arithmetic progression in hindi

हल:

(i) प्रथम पद, a1 = 2

तीसरा पद, a3 = 26

∴ दूसरा पद, a2 = ?

हम जानते हैं कि,

an = a + (n−1)d

⇒ 26 = 2 + (3−1)d

⇒ 26 = 2 + 2d

⇒ 2d = 26 − 2 = 24

⇒ d = \frac {24}2

⇒ d = 12

∴ a2 = 2 + (2 – 1)12

⇒ a2 = 2 + 1 × 12

⇒ a2 = 2 + 12

⇒ a2 = 14

अत:, रिक्त स्थान का पद = 14 (उत्तर)

(ii) दूसरा पद, a2 = 13

चौथा पद, a4 = 3

पहला पद,   a1 =?

तीसरा पद, a3 =?

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

a2 = a + (2 – 1)d

13 = a + d ………………. (i)

a4 = a + (4 – 1)d

3 = a + 3d  ………….. (ii)

समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर,

3 – 13 = a + 3d − (a + d)

3 – 13 = a + 3d − ad

– 10 = 2d

d = – 5

d का मान समीकरण (i) में रखने पर,

13 = a + (– 5)

a = 18

पहला पद, a1 = 18

a3 = 18 + (3 – 1)(-5)

= 18 + 2(-5) = 18 – 10 = 8

तीसरा पद, a3 = 8

अत:, रिक्त स्थान का पद = 18, 8 (उत्तर)

(iii) पहला पद, a1 = 5

चौथा पद, a4 = \frac {19}2

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

a4 = a + (4 – 1)d

\frac {19}25 + 3d

\frac {19}2 – 5 = 3d

3d = \frac {9}2

d = \frac {3}2

a2 = a + (2 – 1)d

a2 = 5 + \frac {3}2

a2 = \frac {13}2

a3 = a + (3 – 1)d

a3 = 5 + 2×\frac {3}2

a3 = 8

अत:, रिक्त स्थान का पद = \frac {13}2, 8 (उत्तर)

(iv) a = −4 तथा a6 = 6

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

a6 = a + (6 − 1)d

6 = − 4 + 5d

10 = 5d

d = 2

a2 = a + d = − 4 + 2 = −2

a3 = a + 2d = − 4 + 2(2) = 0

a4 = a + 3d = − 4 + 3(2) = 2

a5 = a + 4d = − 4 + 4(2) = 4

अत:, रिक्त स्थान का पद = −2, 0, 2, 4 (उत्तर)

(v) a2 = 38 तथा a6 = −22

हम जानते हैं कि,

an = a + (n – 1)d

a2 = a + (2 − 1)d

38 = a + d ……………. (i)

a6 = a + (6 − 1)d

−22 = a + 5d …………. (ii)

समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर,

− 22 − 38 = 4d

−60 = 4d

d = −15

a = a2 − d = 38 − (−15) = 53

a3 = + 2= 53 + 2(−15) = 23

a4 = a + 3d = 53 + 3(−15) = 8

a5 = a + 4d = 53 + 4 (−15) = −7

अत:, रिक्त स्थान का पद = 53, 23, 8, −7 (उत्तर)

4. A.P. 3, 8, 13, 18, … का कौन सा पद 78 है?

हल:

दिया गया है, 3, 8, 13, 18, …

प्रथम पद, a = 3

सार्व अंतर, d = a2 − a1 = 8 − 3 = 5

माना, A.P. का nवां पद 78 है,

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

⇒ 78 = 3 + (n −1)5

⇒ 78 – 3 = (n – 1)5

⇒ 75 = (n−1)5

⇒ (n−1) = \frac {75}5

⇒ (n−1) = 15

⇒ n = 15 + 1

n = 16

अत:, दिये गये A.P. का 16वां पद 78 है। (उत्तर)

5. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ीयों में से प्रत्येक में कितने पद हैं?

(i) 7, 13, 19, …, 205

हल:

(i) दिया गया है, 7, 13, 19, …, 205

प्रथम पद, a = 7

द्वितीय पद, a2 = 13

सार्व अंतर, d = a2 − a1 = 13 − 7 = 6

माना, A.P. का nवां पद 205 है,

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

⇒ 205 = 7 + (− 1)6

⇒ 205 – 7 = (n – 1)6

⇒ 198 = (n − 1)6

⇒ (n − 1) = \frac {198}6

n − 1 = 33

⇒ n = 33 + 1

n = 34

अत:, दिये गये A.P. में कुल 34 पद हैं। (उत्तर)

(ii) 18, 15\frac 12, 13,……., – 47

हल:

दिया गया है, 18, 15\frac 12, 13,……., – 47

प्रथम पद, a = 18

द्वितीय पद, a2 = 15\frac 12\;=\;\frac {31}2

सार्व अंतर, d = a2 − a1 = \frac {31}2 − 18 = \frac {31-36}2=\;-\;\frac 52

माना, A.P. का nवां पद − 47 है,

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

⇒ – 47 = 18 + (n – 1) × –\frac 52

⇒ – 47 = \frac {36 - (n - 1)5}2

⇒ – 94 = 36 – (n – 1)5

⇒ – 94 – 36 = – (n – 1)5

⇒ – 130 = – (n – 1)5

⇒ – n + 1 = \frac {-\;130}{5}

⇒ – n +1 = – 26

⇒ – n = –26 – 1

⇒ – n = – 27

⇒ n = 27

अत:, दिये गये A.P. में कुल 27 पद हैं। (उत्तर)

6. क्या AP: 11, 8, 5, 2, …. का एक पद –150 है? क्यों?

हल:

दिया गया है, 11, 8, 5, 2, …

प्रथम पद, a1 = 11

द्वितीय पद, a2 = 8

सार्व अंतर,  d = a2 − a1 = 8 − 11 = − 3

माना, A.P. का nवां पद − 150 है,

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

⇒ − 150 = 11 + (n – 1)(- 3)

⇒ − 150 = 11 – 3n + 3

⇒ − 3n = − 150 − 14

⇒ − 3n = − 164

⇒ 3n = 164

⇒ n = \frac {164}3

चूँकि n एक पूर्णांक नहीं है,

अत:, – 150  दिये गये A.P. का पद नहीं है। (उत्तर)

7. उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 और 16वाँ पद 73 है।

हल:

दिया गया है,

11वाँ पद, a11 = 38

16वाँ पद, a16 = 73

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

a11 = a + (11 − 1)d

38 = a + 10d  ………………………. (i)

तथा, a16 = a  + (16 − 1)d

73 = a + 15d ………………………………… (ii)

समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर,

73 – 38 = a + 15d – (a + 10d)

⇒ 73 – 38 = a + 15d – a − 10d

⇒ 35 = 5d

d = \frac {35}5

d = 7

d का मान समीकरण (i) में रखने पर,

38 = a + 10×(7)

38 − 70 = a

a = − 32

a तथा d का मान रखने पर,

a31 = a + (31 − 1)d

⇒ a31 = − 32 + 30 (7)

⇒ a31 = − 32 + 210

⇒ a31 = 178

अत:, दिये गये A.P. का 31वाँ पद 178 है। (उत्तर)

8. एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है,

तीसरा पद, a3 = 12

अंतिम पद, a50 = 106

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

a3 = a + (3 − 1)d

12 = a + 2d  ……………………. (i)

तथा, a50 a + (50 − 1)d

106 = a + 49d  ……………………. (ii)

मीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,

106 – 12= (a + 49d) – (a + 2d)

⇒ 94 = a + 49d – a – 2d

⇒ 94 = 47d

⇒ d = \frac {94}47

d = 2

d का मान समीकरण (i) में रखने पर,

12 = a + 2(2)

a = 12 − 4 = 8

a तथा d का मान रखने पर,

a29 = a + (29 − 1)d

a29 = 8 + (28)2

a29 = 8 + 56 = 64

अत:, दिये गये A.P. का 29वाँ पद 64 है। (उत्तर)

9. यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?

हल:

तीसरा पद, a3 = 4

तथा नौवाँ पद, a9 = − 8

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

a3 = a + (3 − 1)d

4 = a + 2d ………………………………… (i)

a9 = a + (9 − 1)d

−8 = a + 8d ……………………………………… (ii)

समीकण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर,

− 8 – 4= a + 8d – (a + 2d)

− 12 = a + 8d – a – 2d

− 12 = 6d

d = − 2

d का मान समीकरण (i) में रखने पर,

4 = a + 2(−2)

4 = a − 4

a = 8

माना, A.P. का nवां पद शून्य होगा।

aa + (n − 1)d

0 = 8 + (n − 1)(−2)

0 = 8 − 2n + 2

2= 10

n = \frac {10}2

n = 5

अतः दी गई A.P. का 5 वाँ पद शून्य होगा। (उत्तर)

10. किसी AP का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

a17 = a + (17 − 1)d

a17 = a + 16d

a10 = a + 9d

प्रश्नानुसार,

a17 − a10 = 7

⇒ (a + 16d) − (a + 9d) = 7

a + 16da − 9d = 7

⇒ 7d = 7

d = 1

अत:,  दिये गये A.P. का सार्वान्तर = 1 (उत्तर)

11. A.P.: 3 , 15, 27, 39, …………. का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

हल:

दिया गया है, 3, 15, 27, 39, …

प्रथम पद,= 3

सार्व अंतर, d = a2 − a1 = 15 − 3 = 12

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

⇒ a54 = a + (54 − 1)d

⇒ a54 = 3 + (53)(12)

⇒ a54 = 3 + 636

a54 = 639

nवाँ पद = 639 + 132 = 771

⇒ an = 771

an = a + (n − 1)d

⇒ 771 = 3 + (n − 1)12

⇒ 768 = (n − 1)12

⇒ n – 1 = \frac {768}{12}

n −1 = 64

⇒ n = 64 + 1

n = 65

अतः A.P. का 65 वाँ पद 54 वें पद से 132 अधिक है। (उत्तर)

12. दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वान्तर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा?

हल:

माना, पहली A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है और दूसरी A.P. का पहला पद A तथा सार्वान्तर d है।

पहला A.P. के लिए, हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

a100 = a + (100 − 1)d

a100a + 99d

a1000 = a + (1000−1)d

a1000 = a + 999d

दूसरा A.P. के लिए, हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

A100A + (100 − 1)d

A100A + 99d

A1000 = A + (1000 − 1)d

A1000 = A + 999d

प्रश्नानुसार,

दोनों श्रेढ़ियों के 100वें पदों का अन्तर

a100 – A100 = 100

(a + 99d) − (A + 99d) = 100

a + 99dA − 99d = 100

aA = 100 ……………………………………….. (i)

दोनों श्रेढ़ियों के 1000वें पदों का अन्तर

(a + 999d) − (A + 999d) = aA

From equation (i),

aA = 100

अत:, दोनों श्रेढ़ियों के 1000 वें पदों का अन्तर = 100 (उत्तर)

13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।

हल:

3 अंकों की 7 से विभाज्य संख्याएँ – 105, 112, 119, …, 994

माना, A.P. का nवां पद 994 है,

पहली संख्या, a = 105

सार्वान्तर, d = 7

an = 994

n = ?

हम जानते हैं कि,

an = a+(n − 1)d

⇒ 994 = 105 + (n − 1)7

⇒ 889 = (n − 1)7

⇒ n – 1 = \frac {889}7

⇒ n − 1 = 127

⇒ n = 127 + 1

⇒ n = 128

अतः, 7 से विभाज्य तीन अंकीय संख्याएँ 128 हैं। (उत्तर)

14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

हल:

10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की सूची : 12, 16, 20, 24, …, 248

माना, A.P. का nवां पद 248 है,

पहली संख्या, a = 12

सार्वान्तर, d = 4

an = 248

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

⇒ 248 = 12 + (n – 1) × 4

⇒ 248 – 12 = (n – 1) × 4

⇒ n – 1 = \frac {236}4

⇒ n – 1 = 59

⇒ n = 59 + 1

⇒ n = 60

अत: 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्याएँ 60 हैं। (उत्तर)

15. n के किस मान के लिए दोनों समान्तर श्रेढ़ियों 63, 65, 67,………….. और 3, 10, 17,……… के nवें पद बराबर होंगे?

हल:

पहली समान्तर श्रेढ़ी : 63, 65, 67,…

पहला पद, a = 63

सार्व अंतर, d = a2 − a1 = 65 − 63 = 2

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

an= 63 + (n − 1)2

⇒ an = 63 + 2n − 2

an = 61 + 2n  …………………………. (i)

दूसरी समान्तर श्रेढ़ी : 3, 10, 17, …

पहला पद, a = 3

सार्व अंतर, d = a2 − a1 = 10 − 3 = 7

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

an = 3 + (n − 1)7

an = 3 + 7n − 7

an = 7n − 4 ………………………….. (ii)

प्रश्नानुसार,

61 + 2n = 7n − 4

⇒ 61 + 4 = 5n

⇒ 5n = 65

⇒ n = \frac {65}5

n = 13

अतः, दी गई दोनों समान्तर श्रेढ़ियों के 13वें पद बराबर होंगे। (उत्तर)

16. वह AP ज्ञात कीजिए जिसकी तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

हल:

तीसरा पद a3 = 16

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

a + (3 − 1)d = 16

a + 2d = 16 ………………………. (i)

दिया गया है,  7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

a7 − a5 = 12

⇒ {a + (7 − 1)d} − {+ (5 − 1)d} = 12

⇒ (a + 6d) − (a + 4d) = 12

a + 6da − 4d = 12

⇒ 2d = 12

d = 6

d का मान समीकरण (i) में रखने पर,

a + 2(6) = 16

a + 12 = 16

a = 4

अत: अभीष्ट A.P. : 4, 10, 16, 22, …….. (उत्तर)

17. A.P. : 3, 8, 13, ……………, 253 में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, 3, 8, 13, …, 253

सार्व अंतर, d = 5

श्रेढ़ी को अवरोही क्रम में लिखने पर,

253, 248, 243, …, 13, 8, 5

अब,

पहला पद, a = 253

सार्व अंतर, d = 248 − 253 = − 5

n = 20

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

a20 = a + (20−1)d

a20 = 253 + (19)(−5)

a20 = 253 − 95

a20 = 158

अत:, A.P. का अन्त से 20वाँ पद = 158 (उत्तर)

18. किसी AP के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा 6वें और 10वें पदों का योग 44 है। इस AP के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

a4 = a + (4 − 1)d

a4 = a + 3d

a8 = a + (8 − 1)d

a8 = a + 7d

a6 = a + 5d

a10 = a + 9d

प्रश्नानुसार,

a4 + a8 = 24

a + 3d + a + 7d = 24

2a + 10d = 24

2(a + 5d) = 12

a + 5d = 12 ………………………………… (i)

प्रश्नानुसार,

a6 + a10 = 44

a + 5d + a + 9d = 44

2a + 14d = 44

a + 7d = 22 …………………………….. (ii)

समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर,

a + 7d – (a + 5d) = 22 − 12

⇒ a + 7d – a – 5d = 10

⇒ 2d = 10

⇒ 2d = 10

d = 5

d का यह मान समीकरण (i) में रखने पर,

a + 5(5) = 12

a + 25 = 12

a = −13

अतः,

a2 = a + d = − 13 + 5 = −8

a3 = a2 + d = − 8 + 5 = −3

अतः, दी गई A.P. के प्रथम तीन पद = −13, −8, −3 (उत्तर)

19. सुब्बाराव ने 1995 में रू. 5,000 के मासिक वेतन पर कार्य प्रारम्भ किया ओर प्रत्येक वर्ष रू. 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन रू. 7000 हो गया?

हल:

प्रारम्भिक वेतन, a = रू. 5000

सार्व अंतर, d = रू. 200

माना, n वर्ष बाद वेतन रू. 7000 होगा।

अतः, an = रू. 7000

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

⇒ 7000 = 5000 + (n − 1)200

⇒ 7000 – 5000 = 200(n−1)

⇒ 200(n -1) = 2000

⇒ n – 1 = \frac {2000}{200}

n − 1 = 10

⇒ n = 10 + 1

n = 11

अत:, 11 वें वर्ष में सुब्बाराव का वेतन रू. 7000 हो जायेगा। (उत्तर)

20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में रू. 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत में रू. 1.75 बढ़ाती गयी। यदि वें सप्ताह में उसकी बचत रू. 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रथम सप्ताह की बचत = रू. 5

सार्व अंतर, d = रू. 1.75

a= 20.75

n = ?

हम जानते हैं कि,

an = a + (n − 1)d

⇒ 20.75 = 5 + (n – 1)×1.75

⇒ 15.75 = (n – 1)×1.75

⇒ (n -1) = \frac {15.75}{1.75} = \frac {1575}{175}

n – 1 = 9

n  = 9 + 1

n = 10

अत:, n = 10. (उत्तर)

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